Como resolver frações?

Elementos Históricos sobre frações


Há 3000 antes de Cristo, os geômetras dos faraós do Egito realizavam marcação das terras que ficavam às margens do rio Nilo, para a sua população. Mas, no período de junho a setembro, o rio inundava essas terras levando parte de suas marcações. Logo os proprietários das terras tinham que marcá-las novamente e para isso, eles utilizavam uma marcação com cordas, que seria uma espécie de medida, denominada estiradores de cordas.


As pessoas utilizavam as cordas, esticando-as e assim verificavam quantas vezes aquela unidade de medida estava contida nos lados do terreno, mas raramente a medida dava correta no terreno, isto é, não cabia um número inteiro de vezes nos lados do terreno; sendo assim eles sentiram a necessidade de criar um novo tipo de número – o número fracionário, onde eles utilizavam as frações.


Introdução ao conceito de fração


Às vezes, ao tentar partir algo em pedaços, como por exemplo, uma pizza, nós a cortamos em partes que não são do mesmo tamanho.



Logo isso daria uma grande confusão, pois quem ficaria com a parte maior? Ou quem ficaria com a parte menor? É lógico que alguém sairia no prejuízo.


Pensemos neste exemplo: Dois irmãos foram juntos comprar chocolate. Eles compraram duas barras de chocolate iguais, uma para cada um. Iam começar a comer quando chegou uma de suas melhores amigas e vieram as perguntas: Quem daria um pedaço para a amiga? Qual deveria ser o tamanho do pedaço? Eles discutiram e chegaram à seguinte conclusão:


Para que nenhum dos dois comesse menos, cada um daria metade do chocolate para a amiga.


Você concorda com esta divisão? Por quê?


Como você poderia resolver esta situação para que todos comessem partes iguais?
O que você acha desta frase: Quem parte e reparte e não fica com a melhor parte, ou é bobo ou não tem arte.
Elementos gerais para a construção de frações
Para representar os elementos que não são tomados como partes inteiras de alguma coisa, utilizamos o objeto matemático denominado fração.


O conjunto dos números naturais, algumas vezes inclui o zero e outras vezes não, tendo em vista que zero foi um número criado para dar significado nulo a algo. Nesse momento o conjunto N será representado por:


N = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, … }


Logo, todos os números naturais representam partes inteiras.


Os números que não representam partes inteiras, mas que são partes de inteiros, constituem os números racionais não-negativos, aqui representados por Q+, onde esta letra Q significa quociente ou divisão de dois números inteiros naturais.


Q+ = { 0,…, 1/4,…, 1/2,…, 1,…,2,… }


Numeral: Relativo a número ou indicativo de número.


Número: Palavra ou símbolo que expressa quantidade.


Definição de fração


Os numerais que representam números racionais não-negativos são chamados frações e os números inteiros utilizados na fração são chamados numerador e denominador, separados por uma linha horizontal ou traço de fração.





Numerador


Denominador

onde Numerador indica quantas partes são tomadas do inteiro, isto é, o número inteiro que é escrito sobre o traço de fração e Denominador indica em quantas partes dividimos o inteiro, sendo que este número inteiro deve necessariamente ser diferente de zero.


Observação: A linguagem HTML (para construir páginas da Web) não proporciona ainda um método simples para a implementar a barra de fração, razão pela qual, às vezes usaremos a barra / ou mesmo o sinal ÷, para entender a divisão de dois números.


Exemplo: Consideremos a fração 1/4, que pode ser escrita como:





1


4

Em linguagem matemática, as fracões podem ser escritas tanto como no exemplo acima ou mesmo como 1/4, considerada mais comum.









1/4 1/4
1/4 1/4

A unidade foi dividida em quatro partes iguais. A fração pode ser visualizada através da figura anexada, sendo que foi sombreada uma dessas partes.


Leitura de frações


(a) O numerador é 1 e o denominador é um inteiro 1<d<10


A leitura de uma fração da forma 1/d, onde d é o denominador que é menor do que 10 é feita como:























Fração 1/2 1/3 1/4 1/5 1/6 1/7 1/8 1/9
Leitura um meio um terço um quarto um quinto um sexto um sétimo um oitavo um nono

(b) O numerador é 1 e o denominador é um inteiro d>10


Quando a fração for da forma 1/d, com d maior do que 10, lemos: 1, o denominador e acrescentamos a palavra avos.


Avos é um substantivo masculino usado na leitura das frações, designa cada uma das partes iguais em que foi dividida a unidade e se cujo denominador é maior do que dez.

































Fração Leitura
1/11 um onze avos
1/12 um doze avos
1/13 um treze avos
1/14 um quatorze avos
1/15 um quinze avos
1/16 um dezesseis avos
1/17 um dezessete avos
1/18 um dezoito avos
1/19 um dezenove avos

(c) O numerador é 1 e o denominador é um múltiplo de 10


Se o denominador for múltiplo de 10, lemos:































































Fração Leitura Leitura Comum
1/10 um dez avos um décimo
1/20 um vinte avos um vigésimo
1/30 um trinta avos um trigésimo
1/40 um quarenta avos um quadragésimo
1/50 um cinqüenta avos um qüinquagésimo
1/60 um sessenta avos um sexagésimo
1/70 um setenta avos um septuagésimo
1/80 um oitenta avos um octogésimo
1/90 um noventa avos um nonagésimo
1/100 um cem avos um centésimo
1/1000 um mil avos um milésimo
1/10000 um dez mil avos um décimo milésimo
1/100000 um cem mil avos um centésimo milésimo
1/1000000 um milhão avos um milionésimo

Observação: A fração 1/3597 pode ser lida como: um, três mil quinhentos e noventa e sete avos.


Tipos de frações


A representação gráfica mostra a fração 3/4 que é uma fração cujo numerador é um número natural menor do que o denominador.









1/4 1/4
1/4 1/4

A fração cujo numerador é menor que o denominador, isto é, a parte é tomada dentro do inteiro, é chamada fração própria. A fração cujo numerador é maior do que o denominador, isto é, representa mais do que um inteiro dividido em partes iguais é chamada fração imprópria.









3/3








1/3
1/3
1/3
 +  2/3








1/3
1/3
1/3
 =  5/3=1+2/3









1 1/3
1/3
1/3

Fração aparente: é aquela cujo numerador é um múltiplo do denominador e aparenta ser uma fração mas não é, pois representa um número inteiro. Como um caso particular, o zero é múltiplo de todo número inteiro, assim as frações 0/3, 0/8, 0/15 são aparentes, pois representam o número inteiro zero.


Frações Equivalentes: São as que representam a mesma parte do inteiro. Se multiplicarmos os termos (numerador e denominador) de uma fração sucessivamente pelos números naturais, teremos um conjunto infinito de frações que constitui um conjunto que é conhecido como a classe de equivalência da fração dada.








1/2






1/2
1/2
2/4








1/4 1/4
1/4 1/4
3/6










1/6 1/6 1/6
1/6 1/6 1/6
4/8












1/8 1/8 1/8 1/8
1/8 1/8 1/8 1/8

Propriedades fundamentais


(1) Se multiplicarmos os termos (numerador e denominador) de uma fração por um mesmo número natural, obteremos uma fração equivalente à fração dada:









1 2 = 1×2 2×2 = 2 4

(2) Se é possível dividir os termos (numerador e denominador) de uma fração por um mesmo número natural, obteremos uma fração equivalente à fração dada:













12 16 = 12÷2 16÷2 = 6 8 = 6÷2 8÷2 = 3 4

A fração como uma classe de equivalência


A classe de equivalência de uma fração é o conjunto de todas as frações equivalentes à fração dada. Ao invés de trabalhar com todos os elementos deste conjunto infinito, simplesmente poderemos tomar a fração mais simples deste conjunto que será a representante desta classe. Esta fração será denominada um número racional. Aplicando a propriedade fundamental, podemos escrever o conjunto das frações equivalentes a 1/3, como:


C(1/3) = { 1/3, 2/6, 3/9, 4/12, 5/15, 6/18, … }


NÚmero Misto


Quando o numerador de uma fração é maior que o denominador, podemos realizar uma operação de decomposição desta fração em uma parte inteira e uma parte fracionária e o resultado é denominado número misto.


Transformação de uma fração imprópria em um número misto
















17 4 = 16+1 4 = 16 4 + 1 4 = 4+ 1 4 = 4 1 4

Transformação de um número misto em uma fração imprópria















4 1 4 = 4+ 1 4 = 16 4 + 1 4 = 17 4

Simplificação de Frações


Simplificar frações é o mesmo que escrevê-la em uma forma mais simples, para que a mesma se torne mais fácil de ser manipulada.


O objetivo de simplificar uma fração é torná-la uma fração irredutível, isto é, uma fração para a qual o Máximo Divisor Comum entre o Numerador e o Denominador seja 1, ou seja, o Numerador e o Denominador devem ser primos entre si. Essa simplificação pode ser feita através dos processos de divisão sucessiva e pela fatoração.


A divisão sucessiva corresponde a dividir os dois termos da fração por um mesmo número (fator comum ) até que ela se torne irredutível.

















36 60 = 36÷2 60÷2 = 18 30 = 18÷2 30÷2 = 9 15 = 9÷3 15÷3 = 3 5

Respectivamente, dividimos os termos das frações por 2, 2 e 3.


Observação: Outra maneira de divisão das frações é obter o Máximo Divisor Comum entre o Numerador e o Denominador e simplificar a fração diretamente por esse valor.


Exemplo: Simplificaremos a fração 54/72, usando o Máximo Divisor Comum. Como MDC(54,72)=18, então 54:18=3 e 72:18=4, logo:









54 72 = 54÷18 72÷18 = 3 4

Comparação de duas frações


(1) Por redução ao mesmo denominador


Se duas frações possuem denominadores iguais, a maior fração é a que possui maior numerador. Por exemplo:







3 5  <  4 5

(2) Tanto os numeradores como os denominadores das duas frações são diferentes


Devemos reduzir ambas as frações a um denominador comum e o processo depende do cálculo do Mínimo Múltiplo Comum entre os dois denominadores e este será o denominador comum às duas frações. Na seqüência, divide-se o denominador comum pelo denominador de cada fração e multiplica-se o resultado obtido pelo respectivo numerador.


Exemplo: Vamos comparar as frações 2/3 e 3/5. Como os denominadores são 3 e 5, temos que MMC(3,5)=15. Reduzindo ambas as frações ao mesmo denominador comum 15, aplica-se a regra de dividir o denominador comum pelo denominador de cada fração e na seqüência multiplica-se esse respectivo número pelo numerador.







2 3  ?  3 5

Multiplicando os termos da primeira fração por 5 e multiplicando os termos da segunda fração por 3, obteremos:











2 3 = 2×5 3×5  ?  3×3 5×3 = 3 5

Temos então os mesmos denominadores, logo:











2 3 = 10 15  ?  9 15 = 3 5

e podemos garantir que











2 3 = 10 15  >  9 15 = 3 5

(3) As frações possuem um mesmo numerador


Se os numeradores de duas frações forem iguais, será maior a fração cujo denominador for menor.


Exemplo: Uma representação gráfica para a desigualdade







3 4  >  3 8

pode ser dada geometricamente por:






3/4=6/8












1/8 1/8 1/8 1/8
1/8 1/8 1/8 1/8
3/8












1/8 1/8 1/8 1/8
1/8 1/8 1/8 1/8

Observe que a área amarelada é maior na primeira figura.


Divisão de frações


Consideremos inicialmente uma divisão D de duas frações, denotada por:








D = 1 2 ÷ 2 3

Um modo fácil para explicar esta divisão é tomar as duas frações com o mesmo denominador e realizar a divisão do primeiro numerador pelo segundo numerador, isto é:












D = 1 2 ÷ 2 3 = 3 6 ÷ 4 6

pois 1/2 é equivalente a 3/6 e 2/3 é equivalente a 4/6. O desenho abaixo mostra as frações 1/2 e 2/3, através de suas respectivas frações equivalentes: 3/6 e 4/6.






3/6










1/6 1/6 1/6
1/6 1/6 1/6
4/6










1/6 1/6 1/6
1/6 1/6 1/6

Realizar a divisão entre dois números fracionários ou não A e B, é o mesmo que procurar saber quantas partes de B estão ocupadas por A. Quantas partes da fração 4/6 estão ocupadas pela fração 3/6?


No desenho, os numeradores das frações estão em cor amarela. Como temos 3 partes em amarelo na primeira fração e 4 partes em amarelo na segunda fração, a divisão corresponde à fração 3/4, ou seja, em cada 4 partes amarelas, 3 estão ocupadas.


Este argumento justifica a divisão de duas frações pela multiplicação da primeira fração pelo inverso da segunda fração e observamos que de fato isto funciona neste caso:
















D = 1 2 ÷ 2 3 = 3 6 × 6 4 = 18 24 = 3 4

Na verdade, há um tratamento mais geral que o deste caso particular. A divisão de um número real a/b pelo número real c/d é, por definição, a multiplicação do número a/b pelo inverso de c/d. Acontece que o inverso de c/d é a fração d/c, assim:













a b ÷ c d = a b × d c = a.d b.c

Fonte: educar.sc.usp.br

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