Como resolver uma equação do 2° grau?

Denomina-se equação do segundo grau, toda a equação do tipo ax²+bx+c, com coeficientes numéricos a.b e c com .


Exemplos:


Classificação


– Incompletas: Se um dos coeficientes ( b ou c ) for nulo, temos uma equação do 2º grau incompleta.


1º caso: b=0


Considere a equação do 2º grau imcompleta


x²-9=0 » x²=9 » x= » x=


2º caso: c=0


Considere a equação do 2º grau imcompleta:


x²-9x=0 » Basta fatorar o fator comum x
x(x-9)=0 » x=0,9


3º caso: b=c=0


2x²=0 » x=0


Resolução de equações do 2º grau:


A resolução de equações do 2º grau incompletas já foi explicada acima, vamos agora resolver equações do 2º grau completas, ou seja, do tipo ax²+bx+c=0 com a, b e c diferentes de zero.


– Uma equação do 2º grau pode ter até 2 raízes reais, que podem ser determinadas pela fórmula de Bháskara.


Como Bháskara chegou até a fórmula de resolução de equações do 2º grau?


Considerando a equação: ax²+bx+c=0, vamos determinar a fórmula de Bháskara:


Multiplicamos os dois membros por 4a:


4a²x²+4abx+4ac=0
4a²x²+4abx=-4ac


Somamos b² aos dois membros:


4a²x²+4abx+b²=b²-4ac


Fatoramos o lado esquedo e chamamos de (delta) b²-4ac:

(2ax+b)²=


2ax+b=


2ax=-b


Logo:


ou


Fórmula de Bháskara



Utilizando a fórmula de Bháskara, vamos resolver alguns exercícios:


1) 3x²-7x+2=0


a=3, b=-7 e c=2


= (-7)²-4.3.2 = 49-24 = 25


Substituindo na fórmula:



Logo, o conjunto verdade ou solução da equação é:


2) -x²+4x-4=0


a=-1, b=4 e c=-4


= 4²-4.-1.-4 = 16-16 = 0


Sustituindo na fórmual de Bháskara:

» x=2



– Neste caso, tivemos uma equação do 2º grau com duas raízes reais e iguais. ( )


3) 5x²-6x+5=0


a=5 b=-6 c=5


a=5 b=-6 c=5


= (-6)²-4.5.5 = 36-100 = -64


Note que <0 e não existe raiz quadrada de um número negativo. Assim, a equação não possui nenhuma raiz real.


Logo: » vazio


Propriedades



Relações entre coeficientes e raízes



Vamos provar as relações descritas acima:

Dado a equação ax²+bx+c=0, com e , suas raízes são:



A soma das raízes será:


Logo, a soma das raízes de uma equação do 2º grau é dada por:



O produto das raízes será:



Logo, o produto das raízes de uma equação do 2º grau é dada por:


Podemos através da equação ax²+bx+c=0, dividir por a.


Obtendo:


Substituindo por


Obtendo a Soma e Produto de uma equação do 2º grau:

x² – Sx + P = 0


Exemplos:


1) Determine a soma e o produto das seguintes equações:

a) x² – 4x + 3=0


Sol] Sendo a=1, b=-4 e c=3:


b) 2x² – 6x -8 =0


Sendo a=2, b=-6 e c=-8



c) 4-x² = 0


Sendo a=-1, b=0 e c=4:



Fonte: www.exatas.hpg.ig.com.br

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