O que são grandezas inversamente proporcionais?

Duas grandezas são inversamente proporcionais quando, aumentando uma delas, a outra diminui na mesma proporção, ou, diminuindo uma delas, a outra aumenta na mesma proporção. Se duas grandezas X e Y são inversamente proporcionais, os números que expressam essas grandezas variam na razão inversa, isto é, existe uma constante K tal que:


X · Y = K


Exemplos:


1. A professora de um colégio, tem 24 livros para distribuir entre os seus melhores alunos, dando a mesma quantidade de livros para cada aluno.


o melhor aluno receberá 24 livros
cada um dos 2 melhores alunos receberá 12 livros
cada um dos 3 melhores alunos receberá 8 livros
cada um dos 4 melhores alunos receberá 6 livros
cada um dos 6 melhores alunos receberá 4 livros





















Alunos escolhidos Livros para cada aluno
1 24
2 12
3 8
4 6
6 4

De acordo com a tabela, a quantidade de alunos escolhidos e a quantidade de livros que cada aluno receberá, são grandezas que variam sendo que uma depende da outra e se relacionam da seguinte forma:


1. Se o número de alunos dobra, o número de livros que cada um vai receber cai para a metade.


2. Se o número de alunos triplica, o número de livros que cada aluno vai receber cai para a terça parte.


3. Se o número de alunos quadruplica, o número de livros que cada aluno vai receber cai para a quarta parte.


4. Se o número de alunos sextuplica, o número de livros que cada aluno vai receber cai para a sexta parte.


Sob estas condições, as duas grandezas envolvidas (número de alunos escolhidos e número de livros distribuídos) são grandezas inversamente proporcionais.


Quando a quantidade de alunos varia na razão de 2 para 4, a quantidade de livros distribuídos varia de 12 para 6.


Notemos que essas razões não são iguais, mas são inversas:



Se a quantidade de alunos varia na razão de 2 para 6, a quantidade de livros distribuídos varia de 12 para 4. Observemos que essas razões não são iguais, mas são inversas:



Representamos tais grandezas inversamente proporcionais com a função f(x)=24/x, apresentada no gráfico



2. Um automóvel se desloca de uma cidade até uma outra localizada a 120 Km da primeira. Se o percurso é realizado em:


1 hora, velocidade média de 120 Km/h
2 horas, velocidade média de 60 Km/h
3 horas, velocidade média de 40 Km/h
A unidade é Km/h=quilômetro por hora e uma tabela da situação é:















Velocidade (Km/h) Tempo (h)
120 1
60 2
40 3

De acordo com a tabela, o automóvel faz o percurso em 1 hora com velocidade média de 120 Km/h. Quando diminui a velocidade à metade, ou seja 60 Km/h, o tempo gasto para realizar o mesmo percurso dobra e quando diminui a velocidade para a terça parte, 40 Km/h o tempo gasto para realizar o mesmo percurso triplica.


Para percorrer uma mesma distância fixa, as grandezas velocidade e tempo gasto, são inversamente proporcionais.


Fonte: pessoal.sercomtel.com.br


Grandezas inversamente proporcionais


Um ciclista faz um treino para a prova de “1000 metros contra o relógio”, mantendo em cada volta uma velocidade constante e obtendo, assim, um tempo correspondente, conforme a tabela abaixo





















Velocidade (m/s) Tempo (s)
5 200
8 125
10 100
16 62,5
20 50

Observe que uma grandeza varia de acordo com a outra. Essas grandezas são variáveis dependentes. Observe que:


Quando duplicamos a velocidade, o tempo fica reduzido à metade.
5 m/s —-> 200s
10 m/s —-> 100s


Quando quadriplicamos a velocidade, o tempo fica reduzido à quarta parte.
5 m/s —-> 200s
20 m/s —-> 50s


Assim:






Duas grandezas variáveis dependentes são inversamente proporcionais quando
a razão entre os valores da 1ª grandeza é igual ao inverso da razão entre os
valores correspondentes da 2ª.


Verifique na tabela que a razão entre dois valores de uma grandeza é igual ao inverso da razão entre os dois valores correspondentes da outra grandeza.



Fonte: somatematica.com.br


GRANDEZAS INVERSAMENTE PROPORCIONAIS


Duas grandezas são inversamente proporcionais quando, aumentando uma delas, a outra diminui na mesma razão da primeira.


Exemplo:


Um carro faz um percurso em:
* 1 hora com velocidade de 90km/h
* 2 horas com velocidade de 45km/h
* 3 horas com velocidade de 30km/h


Então, o tempo e a velocidade são grandezas inversamente proporcionais, conforme mostrado no exemplo acima.


Fonte: portalmatematico.com

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