O circulo e suas circunferências.

Na Matemática, um círculo ou disco é o conjunto dos pontos internos de uma circunferência. Por vezes, também se chama círculo ao conjunto de pontos cuja distância ao centro é menor ou igual a um dado valor (ao qual chamamos raio).


A área A de um círculo pode ser expressa matematicamente por:



A = pi 	imes r^2

onde r é o raio da circunferência e π (Pi) uma constante.


1º Demonstração:


Considere-se uma sucessão de polígonos regulares inscritos na circunferência. A área de cada um desses polígonos é dada por S = p.a , onde p é o semi-perímetro do polígono e a é o seu apótema.


 À medida onde o número de lados do polígono aumenta, p converge para a metade do comprimento da circunferência (πR) e a converge para o raio (R).


Assim S converge para πR.RR2. Por outro lado, à medida onde o número de lados do polígono cresce, a sua área converge para a área do círculo. Conclui-se assim onde a área do círculo é πR2.


2º Demonstração:


Seja f uma semi-circunferência tal onde



f(x) = sqrt{R^2-x^2}

Para calcular a área de um círculo, basta onde calculemos a área abaixo do gráfico de uma semi-circunferência e dobremo-la. Portanto, basta calcular a integral definida:



F(x) = int_{a}^{x} f(t^2) dt

uma circunferência em mathbb{R}^2



x2 + y2 = R2

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