O que é uma função do 2° grau?

A função do 2º grau, também denominada função quadrática, é definida pela expressão do tipo:

y = f(x) = ax² + bx + c, onde a, b e c são constantes reais e


Exemplos:


a) y=x²+3x+2 ( a=1; b=3; c=2 )


b) y=x² ( a=1; b=0; c=0 )


c) y=x²-4 ( a=1; b=0; c=-4 )


Gráfico de uma função do 2º grau:

O gráfico de uma função quadrática é uma parábola


Podemos visualizar uma parábola em um parque de diversões, simplesmente olhando para a montanha russa.



Sua representação gráfica é dada em torno de eixos:


Representação gráfica


Exemplo:


Construa o gráfico da função y=x²:


[Sol] Como na função do 1º grau, basta atribuir valores reais para x, obtemos seus valores correspondentes para y.



Notem que os pontos: A e A`, B e B`, C e C` são simétricos (estão a mesma distância do eixo de simetria). O ponto V representa o vértice da parábola, é a partir dele que determinamos todos os outros pontos.


Coordenadas do vértice


A coordenada x do vértice da parábola pode ser


determinada por


Exemplo: Determine as coordenada do vértice da parábola y=x²-4x+3


Temos: a=1, b=-4 e c=3



Logo, a coordenada x será igual a 2, mas e a coordenada y?


Simples: Vamos substituir o valor obtido da coordenada x e determinar o valor da coordenada y.


Assim, para determinarmos a coordenada y da parábola


y=x²-4x+3, devemos substituir o valor de x por 2.


y = (2)²-4.(2)+3 = 4-8+3=-1


Logo, as coordenadas do vértice serão V=(2,-1)


Portanto, para determinarmos as coordenadas do vértice de uma parábola, achamos o valor da coordenada x (através de x=-b/2a) e substituindo este valor na função, achamos a coordenada y!!!


Raízes (ou zeros) da função do 2º grau


Denominam-se raízes da função do 2º grau os valores de x para os quais ela se anula.


y=f(x)=0


Exemplo: na função y=x²-4x+3, que acima acabamos de determinar as coordenadas de seus vértices, as raízes da função serão x=1 e x`=3.


Vejamos o gráfico:


Notem que quando x=1 e x`=3, a parábola intercepta (“corta”) o eixo x.


Como determinar a raiz ou zero da função do 2º grau?


Simplesmente aplicando a resolução de equações do 2º grau, já vista na seção anterior.


Exemplo: determine a raiz da função y=x²+5x+6:

Fazendo y=f(x)=0, temos x²+5x+6=0


Agora basta resolver a equação aplicando a fórmula de Bháskara.


x²+5x+6=0



Acharemos que x = -2 e x` = -3.


Concavidade da parábola


Explicarei esta parte com um simples desenho.



Os desenhos até que ficaram bonitinhos, mas isso não importa neste momento. O que nos importa agora é que quando a>0, a concavidade da parábola está voltada para cima (carinha feliz) e quando a<0, a parábola está voltada para baixo (carinha triste).


Exemplos:


y = f(x) = x² – 4

a = 1 >0


y = f(x) = -x² + 4

a = -1 < 0


[Nota]


Quando a concavidade está voltada para cima (a>0), o vértice representa o valor mínimo da função. Quando a concavidade está voltada para baixo (a<0), o vértice representa o valor máximo.


Quando o discriminante é igual a zero


Quando o valor de o vértice a parábola encontra-se no eixo x. A coordenada y será igual a zero.


Exemplo: y=f(x)=x²+2x+1


x²+2x+1=0



x=x`=-b/2a=-1


As coordenadas do vértice serão V=(-1,0)


Gráfico:



Quando o discrimintante é maior que zero


Quando o valor de , a parábola intercepta o eixo x em dois pontos. (São as raízes ou zeros da função vistos anteriormente).


Exemplo: y = f(x) = x²-4x+3


x²-4x+3=0

x=1, x`=3


Gráfico:



Quando o discriminante é menor que zero


Quando o valor de a parábola não intercepta o eixo x. Não há raízes ou zeros da função.


Exemplo: y = f(x) = x²-x+2


x²-x+2=0



Gráfico



Resumindo



Esboçando o gráfico


Para finalizarmos (ufa!), vamos desenhar o gráfico da função
y=-x²-4x-3


1ª etapa: Raízes ou zeros da função

-x²-4x-3=0


Aplicando a fórmula de Bháskara


x=-1, x`=-3


2ª etapa: Coordenadas do vértice

Coordenada x (=-b/2a): -(-4)/2.(-1)=-2


Coordenada y: Basta substituir o valor de x obtido na função
y = -x²-4x-3 = -(-2)²-4.(-2)-3 = -4+8-3 = 1


Portanto, V=(-2,1)


3ª etapa: Concavidade da parábola

y=-x²-4x-3


Como a=-1<0, a concavidade estará voltada para baixo


Feito isso, vamos esboçar o gráfico:


Fonte: www.exatas.hpg.ig.com.br

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